Cours express3 minTle spé maths
Exponentielle et logarithme
À quoi ça sert ? Croissance d'une population, radioactivité, intérêts composés : exp et ln décrivent ce qui s'emballe… ou s'éteint.
1Je comprends
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1La fonction exponentielle
exp est sa propre dérivée et e0 = 1. Elle est strictement positive et croissante.
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2Les règles de exp
ea+b = ea × eb
e−a = 1ea et (ea)n = ena
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3Le logarithme népérien
ln est la réciproque de exp : pour x > 0, y = ln(x) ⇔ x = ey. ln(1) = 0 et ln(e) = 1.
ln(ab) = ln(a) + ln(b)
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4Résoudre
Exemple
e2x = 5 ⇔ 2x = ln 5 ⇔ x = ln 52
ln(x) = 3 ⇔ x = e3
2La carte mentale
exp
- exp′ = exp
- e0 = 1
- toujours > 0
Règles de exp
- ea+b = ea × eb
- e−a = 1ea
ln
- défini sur ]0 ; +∞[
- ln 1 = 0, ln e = 1
- ln′(x) = 1x
Règles de ln
- ln(ab) = ln a + ln b
- ln(an) = n ln a
Réciproques
- ln(ex) = x
- eln x = x (x > 0)
Résoudre
- ex = k ⇔ x = ln k (k > 0)
- ln x = k ⇔ x = ek
3L'astuce pour retenir
ln transforme les × en +, exp transforme les + en ×.
Ce sont deux traducteurs qui parlent des langues inverses : ln « défait » exp, et exp « défait » ln.
!Le piège à éviter
✗ln(a + b) = ln a + ln b
✓C'est le produit qui devient une somme : ln(ab) = ln a + ln b. Pour ln(a + b), il n'y a pas de formule.
4Je vérifie
3 questions pour savoir si c'est bien compris. Pas de stress : un indice si tu bloques !