Cours express3 minTle spé maths
Dérivées
À quoi ça sert ? La dérivée mesure la vitesse de variation : elle donne la tangente et le sens de variation d'une fonction.
1Je comprends
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1Les dérivées de référence
(xⁿ)′ = nxⁿ⁻¹ ; (√x)′ = 12√x ; (1x)′ = −1x² ; (ex)′ = ex ; (ln x)′ = 1x
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2Produit et quotient
(uv)′ = u′v + uv′
(uv)′ = u′v − uv′v²
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3Les composées
(eu)′ = u′eu ; (ln u)′ = u′u ; (uⁿ)′ = nu′uⁿ⁻¹ ; (f(ax + b))′ = a f′(ax + b)
Exemple
(e3x+1)′ = 3e3x+1
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4À quoi ça sert
Tangente en a : y = f′(a)(x − a) + f(a). Signe de f′ → variations de f. f″ ≥ 0 → f convexe.
2La carte mentale
Références
- (xⁿ)′ = nxⁿ⁻¹
- (ex)′ = ex
- (ln x)′ = 1x
Produit
- (uv)′ = u′v + uv′
Quotient
- (uv)′ = u′v − uv′v²
Composées
- (eu)′ = u′eu
- (ln u)′ = u′u
Tangente
- y = f′(a)(x − a) + f(a)
Variations, convexité
- f′ > 0 : f croissante
- f″ > 0 : f convexe
3L'astuce pour retenir
Produit : « je dérive l'un, je garde l'autre, puis on échange ».
u′v + uv′ : chacun son tour d'être dérivé. Pour le quotient, même idée avec un « moins » et v² en bas : « u′v moins uv′, sur v carré ».
!Le piège à éviter
✗(uv)′ = u′v′
✓(x ex)′ = 1 × ex + x × ex = (1 + x)ex.
4Je vérifie
3 questions pour savoir si c'est bien compris. Pas de stress : un indice si tu bloques !