Cours express3 min2de
Ensembles de nombres
À quoi ça sert ? Au lycée, on précise toujours de quels nombres on parle : entiers, décimaux, rationnels ou réels.
1Je comprends
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1Cinq ensembles emboîtés
ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ : chaque ensemble est contenu dans le suivant.
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2Qui est qui ?
ℕ : entiers naturels (0, 1, 2…). ℤ : entiers relatifs (… −1, 0, 1…). 𝔻 : décimaux (la virgule s'arrête). ℚ : quotients d'entiers. ℝ : tous les nombres de la droite, comme √2 ou π.
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3Appartient… ou pas
Exemple
13 ∈ ℚ mais 13 ∉ 𝔻 : 0,333… ne s'arrête pas.
√2 ∉ ℚ : c'est un irrationnel.
124 = 3 ∈ ℕ.
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4Les intervalles
[2 ; 5] : de 2 à 5, bornes comprises. ]2 ; 5[ : bornes exclues. [3 ; +∞[ : tous les nombres supérieurs ou égaux à 3.
2La carte mentale
ℕ
- 0, 1, 2, 3…
ℤ
- … −2, −1, 0, 1, 2…
𝔻
- la virgule s'arrête
- 0,25 ; −3,7
ℚ
- quotients ab
- 13 ; 27
ℝ
- toute la droite
- √2, π
Intervalles
- [ ] : borne comprise
- ] [ : borne exclue
- ∞ : toujours exclu
3L'astuce pour retenir
Comme des poupées russes : ℕ dans ℤ dans 𝔻 dans ℚ dans ℝ.
Les lettres ont un sens : ℤ vient de « Zahl » (nombre en allemand), 𝔻 de Décimal, ℚ de Quotient, ℝ de Réel. Et le crochet « embrasse » la borne quand elle est comprise, il lui tourne le dos quand elle est exclue.
!Le piège à éviter
✗13 ∈ 𝔻
✓13 = 0,333… ne s'arrête jamais : 13 ∉ 𝔻, mais 13 ∈ ℚ.
4Je vérifie
3 questions pour savoir si c'est bien compris. Pas de stress : un indice si tu bloques !