Cours express3 minTle spé maths
Dénombrement et loi binomiale
À quoi ça sert ? Combien de codes possibles ? Quelle chance d'obtenir 3 fois pile ? Compter et calculer des probabilités, c'est la même famille.
1Je comprends
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1Compter
nk k-uplets (avec répétitions, ordre compté). n! = n × (n − 1) × … × 1 façons de ranger n objets.
Exemple
Un code à 4 chiffres : 104 = 10 000 possibilités.
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2Les combinaisons
(ⁿₖ) = nombre de façons de choisir k éléments parmi n, sans tenir compte de l'ordre.
(ⁿₖ) = n!k!(n − k)!
Exemple
Choisir 2 délégués parmi 5 : (⁵₂) = 10.
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3Le schéma de Bernoulli
On répète n fois, de façon indépendante, une épreuve à deux issues : succès (probabilité p) ou échec. X = nombre de succès suit la loi binomiale B(n ; p).
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4La formule
P(X = k) = (ⁿₖ) pk (1 − p)n−k
Espérance : E(X) = np.
Exemple
n = 3, p = 0,5 : P(X = 2) = (³₂) × 0,5² × 0,5 = 3 × 0,125 = 0,375.
2La carte mentale
k-uplets
- nk
- ordre compté, répétitions
Permutations
- n! = n × (n − 1) × … × 1
Combinaisons
- (ⁿₖ) : choisir sans ordre
- n!k!(n − k)!
Bernoulli
- 2 issues
- succès p, échec 1 − p
Loi binomiale
- n répétitions indépendantes
- P(X = k) = (ⁿₖ)pk(1 − p)n−k
Indicateurs
- E(X) = np
- V(X) = np(1 − p)
3L'astuce pour retenir
Nombre de chemins × probabilité d'un chemin.
Dans l'arbre, chaque chemin avec k succès a la même probabilité pk(1 − p)n−k, et il y a (ⁿₖ) chemins comme ça : on multiplie.
!Le piège à éviter
✗P(X ≥ 1) calculé en additionnant P(X = 1), P(X = 2)…
✓On passe par le contraire : P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − (1 − p)n.
4Je vérifie
3 questions pour savoir si c'est bien compris. Pas de stress : un indice si tu bloques !