Cours express3 min1re spé maths
Suites
À quoi ça sert ? Épargne, population, réactions en chaîne : les suites décrivent ce qui évolue étape par étape.
1Je comprends
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1Deux façons de définir
Explicite : uₙ = f(n), on calcule directement. Par récurrence : on connaît u₀ et la règle pour passer de uₙ à uₙ₊₁.
Exemple
uₙ = 3n + 1 : u₁₀ = 31.
u₀ = 2 et uₙ₊₁ = 2uₙ − 1 : u₁ = 3, u₂ = 5.
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2Arithmétique : on ajoute
uₙ₊₁ = uₙ + r ⇒ uₙ = u₀ + nr
Exemple
u₀ = 5 et r = 3 : u₁₀ = 5 + 10 × 3 = 35.
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3Géométrique : on multiplie
uₙ₊₁ = q × uₙ ⇒ uₙ = u₀ × qⁿ
Exemple
1 000 € placés à 2 % par an : uₙ = 1 000 × 1,02ⁿ.
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4Sens de variation
On étudie le signe de uₙ₊₁ − uₙ. Arithmétique : croissante si r > 0. Géométrique avec u₀ > 0 : croissante si q > 1, décroissante si 0 < q < 1.
2La carte mentale
Définir
- explicite : uₙ = f(n)
- récurrence : u₀ et uₙ₊₁
Arithmétique
- + r à chaque étape
- uₙ = u₀ + nr
Géométrique
- × q à chaque étape
- uₙ = u₀ × qⁿ
Variations
- signe de uₙ₊₁ − uₙ
- r > 0 ou q > 1 (u₀ > 0) : croît
Sommes
- 1 + 2 + … + n = n(n + 1)2
- 1 + q + … + qⁿ = 1 − qⁿ⁺¹1 − q
Reconnaître
- différence constante : arithmétique
- quotient constant : géométrique
3L'astuce pour retenir
A comme Arithmétique, A comme Ajouter. G comme Géométrique, G comme Grossir en multipliant.
Arithmétique : on ajoute toujours le même nombre r (un escalier). Géométrique : on multiplie toujours par le même nombre q (une boule de neige).
!Le piège à éviter
✗uₙ = u₀ + nr pour une suite qui commence à u₁
✓Si le premier terme est u₁, alors uₙ = u₁ + (n − 1)r : on compte les pas depuis le premier terme.
4Je vérifie
3 questions pour savoir si c'est bien compris. Pas de stress : un indice si tu bloques !